PLATÓN, GEOMETRÍA Y LENGUAJE FILOSÓFICO
PLATÓN, GEOMETRÍA Y LENGUAJE FILOSÓFICO
La Geometría nace en los albores de la humanidad, pues el hombre primitivo clasifica los objetos que le rodean según sus formas, abstracción que lo acerca a esta ciencia. En Egipto las fórmulas son usadas como recetas para calcular longitudes y áreas, porque los funcionarios del faraón buscan conocer la configuración de cada parcela para reconstruirlas
después de las inundaciones del Nilo y determinar de antemano la producción para el cobro de impuestos.
En la magna Grecia, heredera de las culturas egipcia y mesopotámica, se formalizan los conocimientos de estas civilizaciones y la geometría adquiere su alto contenido matemático. Tales, Pitágoras y Euclides, al dar el paso abstracto de considerar a los objetos como entes ideales, la convierten en el estudio del orden espacial por medio de la medición de la relación de las formas de las figuras geométricas, que pueden ser manipuladas mentalmente con la sola ayuda de la regla y el compás.
Para Platón, la geometría y los números son la quinta esencia del lenguaje filosófico y el ideal simbólico de la verdad espiritual. Por eso inscribe a la entrada de su escuela: “Nadie entre aquí si no es geómetra”; también se le atribuye la frase: “Dios hace siempre Geometría”. Cuando habla del dios geómetra, se refiere a Apolo, hijo de Zeus, al que los griegos otorgan el dominio de las ciencias y las artes y en cuyo templo está grabada la inscripción: “Gnothi séauton”, o sea, conócete a ti mismo, que evoca al conocimiento adquirido mediante la Geometría.
Pitágoras eleva el concepto de número a la categoría de elemento primigenio, algo que hasta en la actualidad se da dentro de la matemática y la física. En su escuela, la geometría y la matemática son indispensables para acceder al conocimiento superior, las convierte así en el ideal de su doctrina; también exigen que en el conocimiento humano la demostración sea la única vía para el establecimiento de la verdad.
El teorema de Pitágoras genera la primera crisis de la matemática, pues da lugar a los números irracionales, o sea, números que no son el resultado de la división de dos enteros.
Sucede que si se asigna a cada cateto el valor de uno, la hipotenusa mide raíz de dos, número que por ser inconmensurable no existe para los griegos, lo llaman irracional porque lo imaginan raro y excepcional. Veinticuatro siglos después, Cantor demuestra que la inmensa mayoría de los números son irracionales y que los números racionales, que son el resultado de la división de dos enteros, son una insignificancia en comparación con ellos.
Axioma, o postulado, es una palabra que significa “lo que parece justo o evidente”, para los filósofos antiguos de Grecia es aquello que no necesita ser demostrado; entonces, si se razona con axiomas se puede revelar el resto del conocimiento humano. Para la matemática, un axioma es una expresión lógica utilizada para racionalmente llegar a una conclusión. Resta por saber si hay contradicciones que se deducen de un sistema de axiomas y si, por lo tanto, existen afirmaciones cuya veracidad o falsedad no pueden ser probadas; de ser así, el sistema es inconsistente.
En Grecia aparece también un problema de lógica pura: Para demostrar un resultado, llamado tesis, se parte de una o de varias hipótesis. La veracidad de la tesis depende de la validez del razonamiento con que se la obtiene y de la veracidad de las hipótesis. Entonces, se debe partir de hipótesis ciertas para poder confirmar la tesis. Determinar la veracidad de la hipótesis exige considerarla como una tesis, cuya hipótesis se debe probar también. Se entra así en un proceso sin fin en el que cada hipótesis se convierte, a su vez, en una tesis a probar. Euclides resuelve esta dificultad proponiendo un sistema en el que se acepta sin ninguna demostración la veracidad de ciertas hipótesis, a partir de las cuales se deduce la tesis, o teorema. Su sistema está sintetizado en su obra cumbre “Los Elementos”, modelo axiomático deductivo que se basa en cinco postulados y definiciones precisas, que constituyen toda la geometría y la aritmética de ese entonces. De esta manera, Euclides sintetiza el método deductivo y esquematiza la geometría del mundo antiguo.
A pesar de que la veracidad del quinto postulado está fuera de toda duda, conlleva desde su inicio el problema de si puede ser deducido de los otros cuatro. Durante los siguientes milenios, uno de los principales trabajos en la geometría consiste en determinar si el quinto postulado depende de los otros cuatro o no, o sea, si puede ser considerado un teorema, deducible de los otros cuatro. Hasta la alta Edad Media en las escuelas y en las universidades se enseña “Los Elementos”, pero aunque no se logra comprobar si el quinto postulado es o no dependiente de los otros cuatro, le dan nuevas formulaciones equivalentes, una de las cuales postula que por un punto fuera de una recta pasa una sola recta paralela a dicha recta.
Pasado más de dos milenios, Friedrich Gauss deduce una geometría no contradictoria en la que no se cumple el quinto postulado de Euclides, pero le asusta tanto el resultado que no lo publica. Posteriormente, Lobachevsky y Bolyai dan a conocer al mundo, de manera simultánea, una geometría con postulados idénticos a los de Euclides, excepto el quinto.
Lobachevsky sostiene que por un punto, que no pertenece a una recta, pasan por lo menos dos rectas paralelas a la recta dada. Intenta así llegar a una contradicción sobre el quinto postulado, al que niega y sustituye por otro que es absurdo, aunque es válido de acuerdo a la lógica formal. Para su asombro obtiene una geometría coherente, que es verdadera si es verdadera la de Euclides.
Bernhard Riemann, para negar el quinto postulado, sostiene que por un punto que no pertenece a una recta no pasa ni una recta paralela a la misma, lo que, aunque parezca falso, es válido desde el punto de vista de la lógica formal; asimismo, obtiene una geometría congruente, que es verdadera si es verdadera la de Euclides.
El 10 de junio de 1854, Riemann dicta una conferencia en la Universidad de Gotinga. El tema: “Sobre las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría”. Su contenido se constituye en uno de los mayores logros científicos de la humanidad. De los presentes sólo su antiguo profesor, Gauss, escucha entusiasmado, pues es el único en capacidad de comprenderlo.
En la primera parte de su conferencia generaliza el concepto de superficie para cualquier número arbitrario de dimensiones, demuestra que las geodésicas son las curvas que minimizan la distancia entre dos puntos sobre cualquier superficie, es decir, un concepto análogo al de la recta en el plano, donde la recta es la menor distancia entre dos puntos.
Encuentra que existen superficies en las que los ángulos de un triángulo formado por geodésicas suman más de ciento ochenta grados y otras, en las que suman menos.
Según Riemann, la métrica del espacio, o sea la manera con que se mide la distancia que separa a dos puntos, es lo que determina la geometría del espacio. Por ejemplo, el plano no es por sí mismo el plano euclidiano sino que con una métrica se cumple el quinto postulado, pero, con otra métrica no se verifica dicho postulado. Debe transcurrir mucho tiempo para que sus ideas, avanzadas para la época, sean aceptadas cuando Einstein y Poincare, al mismo tiempo pero de manera independiente las apliquen para crear la Teoría de la Relatividad. En 1872 Félix Klein realiza una revolución en la geometría al escribir el Programa de Erlangen, una memoria en la que define la geometría de una manera nueva, que es un verdadero hito en la historia de la ciencia y que, junto con la Conferencia de Riemann y los Elementos de Euclides, se puede considerar punto sustancial de la geometría.
El Programa de Erlangen es bastante sencillo y da una definición formal sobre qué es geometría. Klein responde a esta pregunta introduciendo en la geometría el concepto de grupo, o sea un conjunto en el que está definida una operación matemática. Define a la geometría como el estudio de las invariantes, o sea, aquellas propiedades que no cambian cuando se aplica una transformación de tipo grupal. Las transformaciones que permanecen invariantes deben tener estructura de grupo para la operación de composición, o sea, para la aplicación sucesiva de la misma transformación al resultado de la primera. Así descubre que la geometría euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de movimientos rígidos, como simetrías, traslaciones y giros, que no cambian las formas de las figuras. Descubrimiento fundamental que permite comprender cuál es la estructura general de cada geometría.
Por último, afirma que el método sintético, que hace un resumen de lo analizado, y el método analítico, que va de lo general a lo específico, no dan geometrías distintas sino que realmente estudian la misma geometría, lo que pone fin a la distinción entre ambos procedimientos. Con Klein una ciencia es capaz de definirse a sí misma de manera rigurosa, por lo que su contribución es uno de los puntos culminantes del pensamiento humano.
OPINIÓN
Por Rodolfo Bueno
Corresponsal de Ecuador News en Quito
www.ecuadornews.com.ec
